İhtisasını 2004-2010 yılları arasında Uludağ Üniversitesi Tıp Fakültesi’nde Beyin ve Sinir Cerrahisi Ana Bilim Dalı’nda yapan Savran, 2010 yılında Nevşehir Dr. İ. Şevki Atasagun Devlet Hastanesi’nde Beyin ve Sinir Cerrahisi Uzmanı olarak görev yapmaya başladı. 2021 yılı Şubat ayına kadar kamu ve özel sektörde bu görevini sürdüren Savran, 2018 yılında AK Parti Nevşehir İl Siyasi ve Hukuki İşler Başkanı, 2019 yılında yapılan yerel seçimlerde ise İl Belediye Meclis Üyesi seçildi. Savran, 2021 Şubat ayında itibaren Nevşehir Belediye Başkanı olarak görev yapmakta olan Mehmet Savran 31 Mart 2024 Mahalli İdareler seçiminde aday olarak gösterildi.
Evli ve bir çocuk babası olan Op. Dr. Mehmet Savran İngilizce bilmektedir.